Le théorème de Pythagore est l’un des résultats les plus connus des mathématiques. Beaucoup d’élèves le découvrent au collège, parfois avec l’impression qu’il s’agit d’une formule à apprendre par cœur. Pourtant, derrière les lettres et les carrés, l’idée est assez simple : dans un triangle rectangle, les longueurs des côtés sont liées par une relation précise.
Cette relation permet de calculer une longueur inconnue, de vérifier si un triangle est rectangle ou encore de résoudre des problèmes très concrets. Une échelle appuyée contre un mur, la diagonale d’un écran ou la distance la plus courte entre deux points peuvent ainsi devenir des applications du théorème de Pythagore.
Avant tout, reconnaître un triangle rectangle
Le théorème de Pythagore ne s’applique pas à tous les triangles. Il concerne uniquement les triangles rectangles, c’est-à-dire les triangles qui possèdent un angle droit.
Un angle droit mesure 90 degrés. Sur une figure, il est généralement représenté par un petit carré placé dans l’angle concerné. Cette marque est importante : elle indique immédiatement que le triangle peut être étudié avec le théorème de Pythagore.
Dans un triangle rectangle, les côtés portent des noms particuliers :
- Les deux côtés qui forment l’angle droit sont appelés les côtés de l’angle droit ou les cathètes.
- Le côté opposé à l’angle droit est appelé l’hypoténuse.
L’hypoténuse possède une propriété très utile : c’est toujours le côté le plus long du triangle rectangle. Il est donc impossible de la confondre avec un petit côté, à condition de bien repérer l’angle droit.
Une erreur fréquente consiste à choisir le plus grand nombre dans l’énoncé sans vérifier sa place sur la figure. Or, l’hypoténuse n’est pas forcément le côté dont la longueur est donnée en premier. Il faut d’abord observer le triangle.
La formule du théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si l’on appelle ABC un triangle rectangle en A, le côté opposé à l’angle droit est BC. Il s’agit donc de l’hypoténuse. La formule s’écrit :
BC² = AB² + AC²
Cette écriture signifie que l’on multiplie chaque longueur par elle-même. Par exemple :
- 5² signifie 5 × 5, donc 25 ;
- 8² signifie 8 × 8, donc 64 ;
- 10² signifie 10 × 10, donc 100.
Il ne faut pas confondre le carré d’une longueur avec le double de cette longueur. Ainsi, 6² vaut 36 et non 12. Cette distinction paraît élémentaire, mais elle explique une grande partie des erreurs commises dans les premiers exercices.
Un premier exemple très simple
Imaginons un triangle rectangle dont les deux côtés qui forment l’angle droit mesurent respectivement 3 cm et 4 cm. On cherche la longueur de l’hypoténuse.
On applique directement le théorème :
hypoténuse² = 3² + 4²
On calcule ensuite :
hypoténuse² = 9 + 16 = 25
La longueur recherchée est donc le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 25. Il s’agit de 5.
L’hypoténuse mesure 5 cm.
Ce célèbre exemple forme le triplet 3-4-5. Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois nombres entiers qui vérifient la relation du théorème de Pythagore. Les triplets 5-12-13 et 8-15-17 en sont d’autres exemples.
Ces nombres peuvent être pratiques pour vérifier rapidement un calcul. Si un triangle possède des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm, il est très probablement question d’un triangle rectangle. Mais dans un exercice, il faut tout de même justifier le raisonnement avec la formule.
Calculer une hypoténuse avec une calculatrice
Les nombres ne donnent pas toujours un résultat aussi agréable que 5. Prenons un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 8 cm.
La formule donne :
hypoténuse² = 6² + 8²
Donc :
hypoténuse² = 36 + 64 = 100
La longueur de l’hypoténuse est donc égale à 10 cm.
Essayons maintenant avec des côtés de 5 cm et 7 cm :
hypoténuse² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
Pour trouver l’hypoténuse, il faut calculer la racine carrée de 74 :
hypoténuse = √74 ≈ 8,60 cm
La racine carrée d’un nombre est le nombre qui, élevé au carré, redonne ce nombre. Comme 8² vaut 64 et 9² vaut 81, √74 se situe logiquement entre 8 et 9. La calculatrice permet ensuite d’obtenir une valeur plus précise.
Dans une copie, il est préférable de conserver quelques chiffres après la virgule et de préciser l’arrondi demandé. Par exemple : « La longueur de l’hypoténuse est d’environ 8,6 cm, au dixième de centimètre près. »
Trouver un côté de l’angle droit
Le théorème de Pythagore sert aussi à calculer un côté de l’angle droit lorsque l’hypoténuse et l’autre côté sont connus.
Supposons que l’hypoténuse mesure 13 cm et qu’un côté mesure 5 cm. On cherche la longueur du troisième côté, que l’on peut appeler x.
La relation de départ est :
13² = 5² + x²
On calcule les carrés :
169 = 25 + x²
Pour isoler x², on soustrait 25 aux deux membres :
x² = 169 – 25 = 144
Il reste à prendre la racine carrée de 144 :
x = √144 = 12
Le côté recherché mesure donc 12 cm.
Le point essentiel est de ne pas additionner les carrés dans ce type de situation. Lorsque l’on cherche un côté de l’angle droit, on effectue une soustraction :
côté recherché² = hypoténuse² – autre côté²
Cette différence entre addition et soustraction est à retenir. Elle dépend de la longueur que l’on cherche.
Une méthode en quatre étapes
Pour éviter de se perdre dans les calculs, une méthode régulière est très utile. Elle fonctionne dans la plupart des exercices classiques.
- Repérer l’angle droit : vérifier que le triangle est bien rectangle.
- Identifier l’hypoténuse : elle est opposée à l’angle droit et constitue le côté le plus long.
- Écrire la formule avec les bons côtés : ne pas remplacer les lettres au hasard.
- Effectuer les calculs et donner l’unité : une longueur doit être exprimée en centimètres, mètres ou dans une autre unité adaptée.
Il est recommandé d’écrire la relation avant de sortir la calculatrice. La calculatrice peut donner un résultat, mais elle ne sait pas toujours si les côtés ont été correctement choisis. Elle exécute les instructions ; elle ne lit pas la figure à votre place.
Une application de la vie quotidienne : une échelle contre un mur
Imaginons une échelle de 5 mètres appuyée contre un mur. Le pied de l’échelle se trouve à 3 mètres du mur. À quelle hauteur atteint-elle le mur ?
La situation forme un triangle rectangle :
- le mur représente un côté vertical ;
- le sol représente un côté horizontal ;
- l’échelle représente l’hypoténuse.
On connaît donc l’hypoténuse, qui mesure 5 mètres, et un côté de l’angle droit, qui mesure 3 mètres. Si la hauteur atteinte sur le mur est notée h, on écrit :
5² = 3² + h²
Ce qui donne :
25 = 9 + h²
Puis :
h² = 25 – 9 = 16
Enfin :
h = √16 = 4
L’échelle atteint donc une hauteur de 4 mètres. Cet exemple montre que le théorème n’est pas seulement une formule scolaire. Il décrit des situations géométriques présentes dans de nombreux objets et aménagements.
La diagonale d’un rectangle
Un rectangle possède quatre angles droits. Sa diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles identiques. Le théorème de Pythagore permet donc de calculer cette diagonale.
Supposons qu’un écran mesure 30 cm de longueur et 40 cm de hauteur. Sa diagonale correspond à l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux autres côtés mesurent 30 cm et 40 cm.
On obtient :
diagonale² = 30² + 40²
diagonale² = 900 + 1 600 = 2 500
La diagonale mesure donc :
√2 500 = 50 cm
L’écran possède une diagonale de 50 cm. Dans le commerce, les dimensions des écrans sont souvent indiquées en pouces, mais le principe mathématique reste le même.
La réciproque : vérifier qu’un triangle est rectangle
Le théorème de Pythagore permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle. Sa réciproque permet de répondre à une autre question : un triangle dont on connaît les trois côtés est-il rectangle ?
La méthode est simple. On repère le plus grand côté, puis on compare son carré avec la somme des carrés des deux autres côtés.
Prenons un triangle dont les côtés mesurent 7 cm, 24 cm et 25 cm. Le plus grand côté est 25 cm.
On calcule :
25² = 625
Puis :
7² + 24² = 49 + 576 = 625
Les deux résultats sont égaux. Le carré du plus grand côté est donc égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Le triangle est rectangle, et son hypoténuse mesure 25 cm.
Attention : il faut toujours comparer avec le plus grand côté. Tester une autre longueur ne permettrait pas d’appliquer correctement la réciproque.
Les erreurs les plus fréquentes
Les exercices sur le théorème de Pythagore deviennent souvent faciles lorsque les erreurs de méthode sont évitées. Voici les principales difficultés rencontrées par les élèves :
- Appliquer le théorème à un triangle non rectangle : la présence d’un triangle ne suffit pas. Il faut un angle droit.
- Se tromper d’hypoténuse : elle est toujours opposée à l’angle droit.
- Oublier les carrés : écrire 5 + 7 au lieu de 5² + 7² change complètement le calcul.
- Utiliser une addition au mauvais moment : pour trouver un côté de l’angle droit, il faut soustraire le carré connu au carré de l’hypoténuse.
- Oublier l’unité : une réponse comme « 12 » est incomplète si l’exercice porte sur des centimètres.
- Arrondir trop tôt : il vaut mieux conserver les valeurs exactes jusqu’à la dernière étape.
Un contrôle rapide peut aussi aider. L’hypoténuse doit être le côté le plus long. Si un calcul annonce qu’elle mesure moins qu’un autre côté, il y a probablement une erreur.
Un peu de sens derrière la formule
Pourquoi parle-t-on de carrés ? Historiquement, le théorème peut être compris à partir des aires. Sur chacun des trois côtés d’un triangle rectangle, on peut construire un carré. L’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des deux carrés construits sur les autres côtés.
Avec un triangle de côtés 3, 4 et 5 :
- le carré construit sur le côté de longueur 3 possède une aire de 9 ;
- le carré construit sur le côté de longueur 4 possède une aire de 16 ;
- le carré construit sur l’hypoténuse de longueur 5 possède une aire de 25.
On retrouve bien la relation : 9 + 16 = 25. Cette représentation permet de comprendre que le théorème ne repose pas sur une formule magique. Il exprime une égalité entre des aires.
À retenir pour réussir un exercice
Le théorème de Pythagore peut se résumer en quelques idées essentielles :
- Il s’applique uniquement dans un triangle rectangle.
- L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
- Elle est toujours le côté le plus long.
- Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
- Pour trouver l’hypoténuse, on additionne les carrés.
- Pour trouver un côté de l’angle droit, on soustrait les carrés.
- La réciproque sert à vérifier si un triangle est rectangle.
La meilleure façon de progresser reste de dessiner la situation, même lorsque l’énoncé semble évident. Une figure permet de repérer l’angle droit, de placer les longueurs et de comprendre immédiatement quelle formule utiliser. En mathématiques, un petit schéma vaut parfois mieux qu’une longue hésitation.
